Преобразования случайных величин с помощью дельта функции. Функции случайных величин

Преобразования случайных величин

По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y , нормированную V и приведенную U . Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y ) = 0, D (Y ) = D (X ). Функция распределения F Y (x ) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F (x ) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x ) = F (x + M (X )).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x ) = f (x + M (X )).

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:

,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х . Для функции распределения F V (x ) и плотности f V (x ) нормированной случайной величины V имеем:

где F (x ) – функция распределения исходной случайной величины Х , а f (x ) – ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:

.

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b , где a и b – некоторые числа, то

Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y , заданных формулой Y = aX + b при различных a > 0 и b . Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством , порожденным случайной величиной Х . Функции распределения F Y (x ) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F (x ). Вместо Y = aX + b часто используют запись

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с , а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X , где lg X – десятичный логарифм числа Х . Цепочка равенств

F Y (x) = P(lg X < x) = P(X < 10 x) = F(10 x)

связывает функции распределения Х и Y .

Задача установления закона распределения функции от случайных величин по заданному закону распределения аргументов является основной. Общая схема рассуждений здесь следующая. Пусть - закон распределения Тогда очевидно имеем где - полный прообраз полуинтервала, т.е. совокупность тех значений вектора £ из ЗГ, для которых. Последняя вероятность легко может быть найдена, так как закон распределения случайных величин £ известен Аналогично, в принципе, может быть найден закон распределения и векторной функции случайных аргументов. Сложность реализации схемы зависит только от конкретного вида функции (р и закона распределения аргументов. Настоящая глава посвящена реализации схемы в конкретных, важных для приложений, ситуациях. §1. Функции одного переменного Пусть £ - случайная величина, закон распределения которой задан функцией распределения F((x), rj = Если F4(y) функция распределения случайной величины rj, то приведенные выше соображения дают ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где через у) обозначен полный прообраз полу- прямой (-оо, у). Соотношение (I) является очевидным следствием (*) и для рассматриваемого случая проиллюстрировано на рис. 1. Монотонное преобразование случайной величины Пусть (p(t) - непрерывная монотонная функция (для определенности - монотонно невозрастающая) и г) = - Для функции распределения Fn(y) получаем (здесь - функция, обратная к существование которой обеспечивается монотонностью и непрерывность. Для монотонно неубывающей) аналогичные выкладки дают В частности, если - линейна, то при а > О (рис. 2) Линейные преобразования не меняют характера распределения, а сказываются лишь на его параметрах. Линейное преобразование равномерной на [а, Ь] случайной величины Пусть Линейное преобразование нормальной случайной величины Пусть и вообще, если Пусть, например, 0. Из (4) заключаем, что Положим в последнем интеграле Эта замена дает Важное тождество, являющееся источником многих интересных приложений, может быть получено из соотношения (3) при Лемма. Если - случайная величина с непрерывной функцией распределения F^(x), то случайная величина г) = - равномерна на . Имеем - монотонно не убывает и заключена в пределах о Поэтому ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН На промежутке же получаем Одним из возможных путей использования доказанной леммы является, например, процедура моделирования случайной величины с произвольным законом распределения F((x). Как следует из леммы, для этого достаточно уметь получать значения равномерной на }