Главная » Печное отопление » Функции общения. Функции и отношения, их свойства Следующие функции по отношению

Функции общения. Функции и отношения, их свойства Следующие функции по отношению

Упражнения.

1) С помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = i вычислить +++…, +++…, +++…, +++…

2) С помощью формулы Муавра вычислить устно sin 4j и cos 5j .

Лекция 3.

СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Определение. Будем говорить, что на множестве Х задано бинарное отношение R , если " x, y Î X мы можем определить (по какому-нибудь правилу) находятся эти элементы в отношении R или нет.

Определим понятие отношения более строго.

Введем понятие декартова (прямого) произведение A´B произвольных множеств A и B.

По определению A´B = { (a, b), a Î A , bÎ B}. Аналогично определяется декартово произведение 3-х, 4-х и произвольного числа множеств. По определению A´A´ …´A = A n .

Определения .

1. Соответствием S из множества A в множество B называется подмножество S Í A´B. Тот факт, что элементы aÎ A, bÎ B находятся в соответствии S, мы будем записывать в виде (a, b) Î S или в виде aSb.

2. Естественным образом для соответствий S 1 и S 2 определяются S 1 ∩S 2 и S 1 U S 2 – как пересечение и объединение подмножеств. Как и для любых подмножеств определяется понятие включения соответствий S 1 Í S 2 . Так S 1 Í S 2 Û

из a S 1 b Þ a S 2 b.

3. Для соответствий S 1 Í A´B и S 2 Í B´C определим композицию соответствий S 1 *S 2 Í A´С. Будем считать, что для элементов aÎ A, сÎ С по определению a S 1 *S 2 с Û $ bÎ B такой, что a S 1 b и b S 2 с.

4. Для соответствия S Í A´B определим соответствие

S -1 Í B´A так: по определению bS -1 a Û a S b.

5. Пусть по определению соответствие D A Í A´A,

D A ={(a,a), aÎ A}.

6. Соответствие F из множества A в множество B называется функцией, определенной на A, со значениями в B (или отображением из A в B ), если " aÎ A $! bÎ B такой, что aFb. В этом случае будем писать также aF = b или, более привычно, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со своим графиком. В наших обозначениях aF 1 *F 2 с можно записать в виде с = (aF 1)F 2 . Композиция F 2 F 1 функций означает по определению, что (F 2 F 1)(a)= F 2 (F 1 (a)). Таким образом, F 2 F 1 = F 1 *F 2 .

7. Для отображения F из A в B образом подмножества A 1 Í A

называется подмножество F(A 1)= {F(a)| aÎ A 1 } Í B, а прообразом подмножества B 1 Í B называется подмножество

F -1 (B 1)= { aÎ A | F(a) Î B 1 } Í A .

8. Отображение F из A в B называется инъекцией , если из

a 1 ¹ a 2 Þ Fa 1 ¹ Fa 2 .

9. Отображение F из A в B называется сюръекцией , если

" bÎ B $ aÎ A такой, что Fa = b.

10. Отображение F из A в B называется биекцией или взаимнооднозначным отображением , если F – инъекция и сюръекция одновременно.

11. Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой .

12. Бинарным отношением на множестве Х называется подмножество R Í X´X. Тот факт, что элементы x, y Î X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) Î R или в виде xRy.

Любое множество 2-списокв или пар называется отношением. Отношения будут особенно полезны при обсуждении значения программ.

Слово «отношение» может означать правило сравнения, «эквивалентность» или «является подмножеством» и т.д. Формально отношения, которые являются множествами 2-списков, могут описать эти неформальные правила точно, путем включения точно тех пар, чьи элементы состоят в нужной связи друг с другом. Например, отношение между символами и 1-строками содержащими эти символы задается следующим отношением:

C = {: x - символ} = {, , …}

Поскольку отношение это множество, пустое отношение также возможно. Например, соответствие между четными натуральными числами и их нечетными квадратами – таких не существует. Более того, операции над множествами применимы к отношениям. Если s и r отношения, то существуют

s È r, s – r, s Ç r

поскольку это множества упорядоченных пар элементов.

Частный случай отношения – функция, отношение со специальным свойством, отличающееся тем, что каждый первый элемент находится в паре с уникальным вторым элементом. Отношение r является функцией, если и только если для любого

Î r и Î r, то y = z.

В таком случае каждый первый элемент может служить именем для второго в контексте отношения. Например, описанное выше отношение C между символами и 1-строками является функцией.

Операции над множествами также применимы к функциям. Хотя результат операции над множествами упорядоченных пар, которые являются функциями, будет обязательно другим множеством упорядоченных пар, а следовательно отношением, но не всегда функцией.

Если f,g –функции, то f Ç g, f – g тоже функции, но f È g, может быть а может и не быть функцией. Например, определим отношение голова

H = {< Θ y, y>: y - строка} = {, , …}

И возьмем отношение C, описанное выше. Тогда из факта, что C Í H:

является функцией,

H - С = {< Θ y, y>: y – строка как минимум из 2 символов}

является отношением, но не функцией,

является пустой функцией, и

является отношением.

Множество первых элементов пар отношения или функции называется областью определения (domain), а множество вторых элементов пар называется областью значений (range). Для элементов отношения, скажем Î r, x называется аргументом r, а у называется значением r.

Когда Î r и и y является единственным значением для x, value-нотация:

читается, как «y является значением r для аргумента x» или, более кратко, «y является значением r для x» (функциональная форма записи).

Зададим произвольное отношение r и аргумент x, тогда существуют три варианта их соответствия:

x Ï domain(r), в таком случае r не определено на x
x Î domain(r), и существуют различные y, z, такие что Î r и Î r. В этом случае r неоднозначно определено на x
x Î domain(r), и существует уникальная пара Î r. В этом случае r однозначно определено на x и y=r(x).

Таким образом, функция – это отношение, которое однозначно определено для всех элементов его области определения.

Выделяют три специальные функции:

Пустая функция {}, не имеет аргументов и значений, то есть

domain({}) = {}, range({}) = {}

Функция эквивалентности (identity function) , функция I такая,

что если x Î domain(r), тогда I(x) = x.

Постоянная функция , область значений которой задается 1-множеством, то есть всем аргументам соответствует одно и то же значение.

Поскольку отношения и функции являются множествами, они могут быть описаны перечислением элементов или заданием правил. Например:

r = {<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

является отношением, поскольку все его элементы - 2-списки

domain(r) = {†ball†, †game†}

range (r) = {†ball†, †game†, †bat†}

Однако, r не является функцией, потому что два разных значения встречаются в паре с одним аргументом †ball†.

Пример отношения, определенного с помощью правила:

s = {: слово x непосредственно предшествует слову y

в строке †this is a relation that is not a function†}

Это отношение также может быть задано перечислением:

s = {<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Следующее правило определяет функцию:

f = {: первый экземпляр слова непосредственно предшествующий слову y

в строке †this is a relation that is also a function†}

которая также может быть задана перечислением:

f = {<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Значение программ.

Отношения и функции жизненно необходимы для описания для описания значения программ. Используя эти понятия, разрабатывается нотация для описания значения программ. Для простых программ значение будет очевидным, но эти простые примеры послужат освоению теории в целом.

Новые идеи: box-нотация, программа и значение программы.

Множество пар ввод-вывод для всех возможных нормальных запусков программы называется значением программы. Также может быть использованы понятия функция программы и отношение программы . Важно различать значение программы и элементы значения. Для конкретного входа Паскаль-машина, управляемая Паскаль-программой может произвести конкретный выход. Но значение программы это гораздо больше, чем способ выражения результата одного частного выполнения. Оно выражает все возможные выполнения Паскаль-программы на Паскаль-машине.

Программа может принимать вход разбиты на строки и производить выход разбитый на строки. Таким образом пары в значении программы могут быть парами списков состоящих из строк символов.

Box-нотация.

Любая Паскаль-программа – строка символов, передаваемая для обработки Паскаль-машине. Например:

P = †PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END.†

Представляет одну из первых программ, рассмотренных в начале части I, в виде строки.

Также эту строку можно записать, опустив маркеры строки, как

P = PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT);

WRITELN(‘HELLO’)

Строка P представляет синтаксис программы, а ее значение мы будем записывать как P. Значение P это множество 2-списков (упорядоченных пар) списков символьных строк, в которых аргументы представляют входные данные программы, а значения представляют выходные данные программы, то есть

P = {: для входного списка строк L, P выполняется корректно

и возвращает список строк M}

Box-нотация для значения программы держит синтаксис и семантику программы, но ясно разграничивает одно от другого. Для программы PrintHello, приведенной выше:

P = { } =

{>: L – любой список строк }

Помещая текст программы в box:

P = PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END

Поскольку P - функция,

PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END (L) = <†HELLO†>

для любого списка строк L.

Box-нотация скрывает способ которым программа управляет Паскаль-машиной и показывает только то что сопутствует выполнению. Термин «черный ящик» часто используется для описания механизма рассматриваемого только извне в терминах входов и выходов. Таким образом эта нотация подходит для значения программы с точки зрения ввода-вывода. Например, программа R

PROGRAM PrintHelloInSteps (INPUT, OUTPUT);

WRITE(‘HE’);

WRITE (‘L’);

WRITELN(‘LO’)

Имеет то же значение что и P, то есть R = P.

Программ R также имеет CFPascal имя PrintHelloInSteps. Но поскольку строка †PrintHelloInSteps† является частью строки R, лучше не использовать PrintHelloInSteps в качетсве названия программы R в box-нотации.

Сущность и классификация экономических отношений

С момента своего выделения из мира дикой природы, человек развивается как биосоциальное существо. Это определяет условия его развития и становления. Основным стимулом развития человека и общества являются потребности. Для удовлетворения этих потребностей человек должен трудиться.

Труд – это сознательная деятельность человека по созданию благ с целью удовлетворения потребностей или получения выгоды.

Чем больше возрастали потребности, тем сложнее становился трудовой процесс. Он требовал все больших затрат ресурсов и все более слаженных действий всех членов общества. Благодаря труду формировались как основные черты внешнего облика современного человека, так и особенности человека как социального существа. Труд перешел в фазу экономической деятельности.

Экономической деятельностью называют деятельность человека по созданию, перераспределению, обмену и использованию материальных и духовных благ.

Экономическая деятельность сопряжена с необходимостью вступать в какие-то взаимоотношения всех участников данного процесса. Эти отношения получили название экономических.

Определение 1

Экономическими отношениями называют систему взаимоотношений физических и юридических лиц, формирующихся в процессе производства. перераспределения, обмена и потребления каких-либо благ.

Данные отношения имеют различные формы и длительность. Поэтому существует несколько вариантов их классификации. Все зависит от избираемого критерия. Критерием может быть время, периодичность (регулярность), степень выгоды, особенности участников данных отношений и т.д. наиболее часто упоминаются следующие виды экономических отношений :

международные и внутригосударственные;
взаимовыгодные и дискриминационные (приносящие пользу одной стороне и ущемляющие интересы другой);
добровольные и принудительные;
устойчивые регулярные и эпизодические (кратковременные);
кредитно-финансовые и инвестиционные;
отношения купли-продажи;
собственнические отношения и пр.

В процессе экономической деятельности каждый из участников отношений может выступать в нескольких ролях. Условно выделяют три группы носителей экономических отношений. Таковыми являются:

производители и потребители экономических благ;
продавцы и покупатели экономических благ;
владельцы и пользователи благ.

Иногда отдельно выделяют категорию посредников. Но с другой стороны посредники просто бывают одновременно в нескольких ипостасях. Поэтому система экономических отношений характеризуется большим разнообразием форм и проявлений.

Существует еще одна классификация экономических отношений. Критерием выступают особенности происходящих процессов и целей каждого из видов отношений. Этими видами выступают организация трудовой деятельности, организация хозяйственной деятельности и управление хозяйственно-экономической деятельностью.

Базисом для формирования экономических отношений всех уровней и видов является право собственности на ресурсы и средства производства. Они определяют право собственности на произведенные блага. Следующим системообразующим фактором являются принципы распределения произведенных благ. Эти два момента легли в основу формирования типов экономических систем.

Функции организационно-экономических отношений

Определение 2

Организационно-экономическими отношениями называются отношения по формированию условий для максимально эффективного использования ресурсов и снижения уровня затрат за счет организации форм производства.

Функцией данной формы экономических отношений является максимальное использование относительных экономических преимуществ и рациональное использование наявных возможностей. К основным формам организационно-экономических отношений относят концентрацию (укрупнение) производства, комбинирование (сочетание на одном предприятии производств разных отраслей), специализацию и кооперирование (для повышения производительности). Законченной формой организационно-экономических отношений считается формирование территориально-производительных комплексов. Дополнительный экономический эффект получается за счет удачного территориального расположения предприятий и рационального использования инфраструктуры.

Советские российские экономисты и экономгеографы в средине $ХХ$ века разработали теорию энерго-производственных циклов (ЭПЦ). Они предлагали так организовать производственные процессы на определенной территории, чтобы использовать единый поток сырья и энергии для производства целого комплекса продукции. Это позволило бы резко снизить себестоимость продукции и уменьшить отходность производства. Организационно-экономические отношения непосредственно связаны с управлением экономикой.

Функции социально-экономических отношений

Определение 3

Социально-экономическими отношениями называются отношения между экономическими агентами, в основе которых лежит право собственности.

Собственностью называют систему отношений между людьми, проявляющуюся в их отношении к вещам - правом ими распоряжаться.

Функцией социально-экономических отношений является упорядочение собственнических отношений в соответствии с нормами данного общества. Ведь правовые отношения строятся, с одной стороны, на основе права собственности, а с другой – на основе волевых имущественных отношений. Эти взаимодействия двух сторон принимают форму как моральных норм, так и законодательных (юридически закрепленных).

Социально-экономические отношения зависят от социальной формации, в которой развиваются. Они служат интересам правящего класса в данном конкретном обществе. Социально-экономические отношения обеспечивают переход права собственности от одного лица к другому (обмен, купля-продажа и пр.).

Функции международных экономических отношений

Международные экономические отношения выполняют функцию согласования экономической деятельности стран мира. Они несут характер всех трех основных форм экономических отношений - управления экономикой, организационно-экономических и социально-экономических. Особенно актуально это в настоящее время в связи с разнообразием моделей смешанной экономической системы.

Организационно-экономическая сторона международных отношений отвечает за расширение международного сотрудничества на основе интеграционных процессов. Социально-экономический аспект международных отношений состоит в стремлении к всеобщему повышению уровня благосостояния населения всех стран мира и снижению социальной напряженности в мировой экономике. Управление мировой экономикой направлено на снижение противоречий между национальными экономиками и снижении влияния мировых инфляционных и кризисных явлений.

Пусть r Í Х х Y .

Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, у которого каждому элементу соответствует ровно один такой, что пара принадлежит отношению или такого не существует совсем : или.

Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, длякоторого выполняется: .

Всюду определённое отношение – бинарное отношение r , для которого D r =Х ("нет одиноких х ").

Сюръективное отношение – бинарное отношение r , для которого J r = Y ("нет одиноких y ").

Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным х соответствуют разные у .

Биекция – функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.

Например :

Пусть r = { (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 }.

Отношение r - функционально,

не всюду определено ("есть одинокие х "),

не инъективно (есть разные х, у ),

не сюръективно ("есть одинокие у "),

не биекция.

Например:

Пусть Ã= {(x,y) Î R 2 | y = x+1}

Отношение Ã- функционально,

Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х "),

Отношение Ã- инъективно (нет разных х, которым соответствуют одинаковые у ),

Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у "),

Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.

Например:

Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N 4 .

Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)

Отношение j - не всюду определенно D j ={1,2,3}¹ N 4

Отношение j - не сюръективно I j ={1,2,3}¹ N 4

Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).

Задание к лабораторной работе

1. Заданы множества N1 и N2 . Вычислить множества:

(N1 хN2) Ç (N2 хN1) ;

(N1 хN2) È (N2 хN1) ;

(N1 Ç N2) x(N1 Ç N2) ;

(N1 È N2) x(N1 È N2) ,

где N1 = { цифры номера зачетной книжки, три последние};

N2 = { цифры даты и номера месяца рождения}.

2. Отношения r иg заданы на множествеN 6 ={1,2,3,4,5,6}.

Описать отношения r ,g ,r -1 , r ○g, r - 1 ○g списком пар.

Найти матрицы отношений r иg .

Для каждого отношения определить область определения и область значений.

Определить свойства отношений.

Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.

Выделить отношения порядка и классифицировать их.

1) r = { (m ,n ) | m > n }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}

2) r = { (m ,n ) | (m - n) делится на 2}

g = { (m ,n ) | m делитель n }

3) r = { (m ,n ) | m < n }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3}

4) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}

g = { (m ,n ) | m 2 =n }

5) r = { (m ,n ) | m / n - степень 2 }

g = { (m ,n ) | m = n }

6) r = { (m ,n ) | m / n - четно}

g = { (m ,n ) | m ³n }

7) r = { (m ,n ) | m / n - нечетно }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4}

8) r = { (m ,n ) | m * n - четно }

g = { (m ,n ) | m £n }

9) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 5}

g = { (m ,n ) | m делится наn }

10) r = { (m ,n ) | m - четно, n - четно}

g = { (m ,n ) | m делительn }

11) r = { (m ,n ) | m = n }

g = { (m ,n ) | (m + n) £5 }

12) r ={ (m ,n ) | m и n имеют одинаковый остаток от деления на 3}

g = { (m ,n ) | (m -n) ³2}

13) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 2 }

g = { (m ,n ) | 2 £(m -n) £4}

14) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 3 }

g = { (m ,n ) | m ¹n }

15) r = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель }

g = { (m ,n ) | m 2 £n }

16) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 2 }

g = { (m ,n ) | m < n +2 }

17) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4 }

g = { (m ,n ) | m £n }

18) r = { (m ,n ) | m делится нацело наn }

g = { (m ,n ) | m ¹n , m- четно}

19) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3 }

g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}

20) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 4 }

g = { (m ,n ) | m ¹n }

21) r = { (m ,n ) | m - нечетно, n - нечетно}

g = { (m ,n ) | m £n , n- четно}

22) r = { (m ,n ) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }

g = { (m ,n ) | (m -n) ³1}

23) r = { (m ,n ) | m * n - нечетно }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}

24) r = { (m ,n ) | m * n - четно }

g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}

25) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}

g = { (m ,n ) | m не делится нацело на n }

26) r = { (m ,n ) | m = n }

g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }

27) r = { (m ,n ) | (m - n)- четно}

g = { (m ,n ) | m делитель n }

28) r = { (m ,n ) | (m -n) ³2}

g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }

29) r = { (m ,n ) | m 2 ³ n }

g = { (m ,n ) | m / n - нечетно}

30) r = { (m ,n ) | m ³n, m - четно}

g = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель, отличный от 1}

3. Определить является ли заданное отношение f - функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R - множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.

Выполнить это же задание для отношений r и g из пункта 3 лабораторной работы.

1) f={ (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x }

2) f={ (x, y) Î R 2 | x ³y }

3) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x }

4) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x, x ³ 0 }

5) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1 }

6) f={ (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1 }

7) f={ (x, y) Î R 2 | x + y £ 1 }

8) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 }

9) f={ (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1}

10) f={ (x, y) Î R 2 | y = -x 2 }

11) f={ (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1 }

12) f={ (x, y) Î R 2 | x = y -2 }

13) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 ³1, y > 0 }

14) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x > 0 }

15) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 £ 1, x > 0 }

16) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 ,x ³ 0 }

17) f={ (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) }

18) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 /cos x }

19) f={ (x, y) Î R 2 | y = 2| x | + 3 }

20) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 2x + 1| }

21) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3 x }

22) f={ (x, y) Î R 2 | y = e -x }

23) f ={ (x, y) Î R 2 | y = e | x | }

24) f={ (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 }

25) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 }

26) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) }

27) f={ (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 }

28) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 4x -1| + 2 }

29) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 +2x-5)}

30) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 3 , y ³ - 2 }.

Контрольные вопросы

2.Определение бинарного отношения.

3.Способы описания бинарных отношений.

4.Область определения и область значений.

5.Свойства бинарных отношений.

6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.

7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.

8.Классы вычетов по модулю m.

9.Функциональные отношения.

10. Инъекция, сюръекция, биекция.

Лабораторная работа № 3

В данном подразделе мы вводим декартовы произведения, отношения, функции и графы. Изучаем свойства этих математических моделей и связи между ними.

Декартово произведение и перечисление его элементов

Декартовым произведением множеств A и B называется множество, состоящее из упорядоченных пар: A ´ B = {(a ,b ): (a Î A ) & (b Î B )}.

Для множеств A 1 , …, A n декартово произведение определяется по индукции:

В случае произвольного множества индексов I декартово произведение семейства множеств {A i } i Î I определяется как множество, состоящее из таких функций f: I ® A i , что для всех i Î I верно f(i) Î A i .

Теорема 1

Пусть A и B – конечные множества. Тогда | A ´B| = | A| ×| B|.

Доказательство

Пусть A = { a 1 , …, a m } , B = { b 1 , …, b n } . Элементы декартового произведения можно расположить с помощью таблицы

(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n) ;

(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n) ;

(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n) ,

состоящей из n столбцов, каждый из которых состоит из m элементов. Отсюда | A ´B|= mn .

Следствие 1

Доказательство

C помощью индукции по n . Пусть формула верна для n . Тогда

Отношения

Пусть n ³1 – положительное целое число и A 1 , …, A n – произвольные множества. Отношением между элементами множеств A 1 , …, A n или n-арным отношением называется произвольное подмножество .

Бинарные отношения и функции

Бинарным отношением между элементами множеств A и B (или, коротко, между A и B ) называется подмножество R Í A ´B .

Определение 1

Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множеств A и B и подмножества f Í A ´ B (графика функции ), удовлетворяющего следующим двум условиям;

1) для любого x Î A существует такой y Î f , что (x, y) Î f ;

2) если (x, y) Î f и (x, z) Î f , то y = z.

Легко видеть, что f Í A ´ B будет тогда и только определять функцию, когда для любого x Î A существует единственный y Î f , что (x ,y ) Î f . Этот y обозначим через f (x ).

Функция называется инъекцией , если для любых x, x’ Î A , таких что x ¹ x’ , имеет место f(x) ¹ f(x’) . Функция называется сюръекцией , если для каждого y Î B существует такой x Î A , что f (x ) = y . Если функция является инъекцией и сюръекцией, то она называется биекцией .

Теорема 2

Для того чтобы функция была биекцией, необходимо и достаточно существования такой функции , что fg = Id B и gf = Id A .

Доказательство

Пусть f – биекция. В силу сюръективности f для каждого y Î B можно выбрать элемент x Î A , для которого f (x ) = y . В силу инъективности f , этот элемент будет единственным, и мы обозначим его через g (y ) = x . Получим функцию .

По построению функции g , имеют место равенства f (g (y )) = y и g (f (x )) = x . Значит, верно fg = Id B и gf = Id A . Обратное очевидно: если fg = Id B и gf = Id A , то f – сюръекция в силу f (g (y )) = y , для каждого y Î B . В этом случае из будет следовать , и значит . Следовательно, f – инъекция. Отсюда вытекает, что f – биекция.

Образ и прообраз

Пусть – функция. Образом подмножества X Í A называется подмножество f(X) = { f(x): x Î X} Í B. Для Y Í B подмножество f - -1 (Y) ={ x Î A: f(x) Î Y} называется прообразом подмножества Y .

Отношения и графы

Бинарные отношения можно наглядно показать с помощью ориентированных графов .

Определение 2

Ориентированным графом называется пара множеств (E, V) вместе с парой отображений s, t: E ® V . Элементы множества V изображаются точками на плоскости и называются вершинами . Элементы из E называются направленными ребрами или стрелками . Каждый элемент e Î E изображается в виде стрелки (возможно, криволинейной), соединяющей вершину s(e) с вершиной t(e) .

Произвольному бинарному отношению R Í V ´ V соответствует ориентированный граф с вершинами v Î V , стрелками которого являются упорядоченные пары (u, v) Î R . Отображения s, t: R ® V определяются по формулам:

s(u, v) = u и t(u, v) = v .

Пример 1

Пусть V = {1,2,3,4} .

Рассмотрим отношение

R = {(1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)} .

Ему будет соответствовать ориентированный граф (рис. 1.2). Стрелками этого граф будут пары (i, j) Î R .

Рис. 1.2. Ориентированный граф бинарного отношения

В полученном ориентированном графе любая пара вершин соединяется не более чем одной стрелкой. Такие ориентированные графы называются простыми . Если не рассматривать направление стрелок, то мы приходим к следующему определению:

Определение 3

Простым (неориентированным) графом G = (V, E) называется пара, состоящая из множества V и множества E , состоящего из некоторых неупорядоченных пар {v 1 , v 2 } элементов v 1 , v 2 Î V таких, что v 1 ¹ v 2 . Эти пары называются ребрами , а элементы из V – вершинами .

Рис. 1.3. Простой неориентированный граф K 4

Множество E определяет бинарное симметричное антирефлексивное отношение, состоящее из пар (v 1 , v 2 ), для которых {v 1 , v 2 } Î E . Вершины простого графа изображаются как точки, а ребра – как отрезки. На рис. 1.3 изображен простой граф с множеством вершин

V = {1, 2, 3, 4}

и множеством ребер

E = {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Операции над бинарными отношениями

Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется произвольное подмножество R Í A ´ B . Запись aRb (при a Î A , b Î B ) означает, что (a, b) Î R .

Определены следующие операции над отношениями R Í A ´ A :

· R -1 = {(a,b): (b,a) Î R} ;

· R ° S = {(a,b): ($ x Î A)(a,x) Î R & (x,b) Î R} ;

· R n = R °(R n -1) ;

Пусть Id A = {(a, a): a Î A} – тождественное отношение. Отношение R Í X ´ X называется:

1) рефлексивным , если (a, a) Î R для всех a Î X ;

2) антирефлексивным , если (a, a) Ï R для всех a Î X ;

3) симметричным , если для всех a, b Î X верна импликация aRb Þ bRa ;

4) антисимметричным , если aRb & bRa Þ a= b ;

5) транзитивным , если для всех a, b, c Î X верна импликация aRb & bRc Þ aRc ;

6) линейным , для всех a, b Î X верна импликация a ¹ b Þ aRb Ú bRa .

Обозначим Id A через Id . Легко видеть, что имеет место следующее.

Предложение 1

Отношение R Í X ´ X :

1) рефлексивно Û Id Í R ;

2) антирефлексивно Û R Ç Id= Æ ;

3) симметрично Û R = R -1 ;

4) антисимметрично Û R Ç R -1 Í Id ;

5) транзитивно Û R ° R Í R ;

6) линейно Û R È Id È R -1 = X ´ X .

Матрица бинарного отношения

Пусть A = {a 1 , a 2 , …, a m } и B = {b 1 , b 2 , …, b n } – конечные множества. Матрицей бинарного отношения R Í A ´ B называется матрица с коэффициентами:

Пусть A – конечное множество, |A | = n и B = A . Рассмотрим алгоритм вычисления матрицы композиции T = R ° S отношений R , S Í A ´ A . Обозначим коэффициенты матриц отношений R , S и T соответственно через r ij , s ij и t ij .

Поскольку свойство (a i ,a k )ÎT равносильно существованию такого a j Î A , что (a i ,a j )ÎR и (a j ,a k ) Î S , то коэффициент t ik будет равен 1, если и только если существует такой индекс j , что r ij = 1 и s jk = 1. В остальных случаях t ik равен 0. Следовательно, t ik = 1 тогда и только тогда, когда .

Отсюда вытекает, что для нахождения матрицы композиции отношений нужно перемножить эти матрицы и в полученном произведении матриц ненулевые коэффициенты заменить на единицы. Следующий пример показывает, как этим способом вычисляется матрица композиции.

Пример 2

Рассмотрим бинарное отношение на A = {1,2,3} , равное R = {(1,2),(2,3)} . Запишем матрицу отношения R . Согласно определению, она состоит из коэффициентов r 12 = 1, r 23 = 1 и остальных r ij = 0. Отсюда матрица отношения R равна:

Найдем отношение R ° R . С этой целью умножим матрицу отношения R на себя: