Главная » Центральное отопление » Большая энциклопедия нефти и газа. Аддитивная и мультипликативная погрешности

Большая энциклопедия нефти и газа. Аддитивная и мультипликативная погрешности

Аддитивная погрешность – погрешность измерения которая при всех значениях входной измеряемой величины Х значения выходной величины Y изменяются на одну и ту же величину большую или меньшую от номинального значения.

Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса определяется аддитивной погрешностью.

Ярким примером аддитивной погрешности является погрешность квантования (оцифровки).

Класс точности измерений:

Для аддитивной погрешности: где Х - верхний предел шкалы, ∆ 0 - абсолютная аддитивная погрешность.

Мультипликативной погрешностью называется погрешность, линейно возрастающая или убывающая с ростом измеряемой величины.

Если постоянной величиной является относительная погрешность, то полоса погрешностей меняется в пределах диапазона измерений и погрешность называется мультипликативной

Класс точности измерений:

Для мультипликативной погрешности: - это условие определяет порог чувствительности прибора (измерений).

17.Погрешность квантования.

Погрешности средств измерений - отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений). Погрешность результата измерения - отклонение результата измерения от действительного (истинного) значения измеряемой величины, определяемая по формуле - погрешность измерения.

Разным значениям непрерывной измеряемой величины соответствуют дискретные значения выходной величины. Показания прибора дискретны с шагом квантования, где- чувствительность линейной функции, которая имела бы место при.

Значение , соответствующее зависимостизаменяется дискретным значением, равнымближайшему уровню квантования. Несовпадение ибудет определять погрешность квантования. Значения погрешности квантованиялежат в пределе отдо. При этом все значенияравновероятны и математическое ожидание такой погрешности равно 0. Из этого следует, что в этом случае погрешность квантования есть чисто случайная погрешность с равномерным распределением.

18.Понятие класса точности. Нормирование точности средств измерения.

Класс точности (КТ) - это обобщенная характеристика средства измерений, выражаемая пределами его допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность.

Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых при помощи этих средств.

Для того чтобы заранее оценить погрешность, которую внесет данное средство измерений в результат, пользуются нормированными значениями погрешности . Под ними понимают предельные для данного типа средства измерений погрешности.

Погрешность данного измерительного прибора не должна превосходить нормированного значения.

Если обозначаемое на шкале значение класса точности обведено кружком, например 1,5, это означает, что погрешность чувствительности γs=1,5%. Так нормируют погрешности масштабных преобразователей (делителей напряжения, шунтов, измерительных трансформаторов тока и напряжения и т. п.).

Если на шкале измерительного прибора цифра класса точности не подчеркнута, например 0,5, это означает, что прибор нормируется приведенной погрешностью нуля γ о=0,5 %.

Однако будет грубейшей ошибкой полагать, что амперметр класса точности 0,5 обеспечивает во всем диапазоне измерений погрешность результатов измерений ±0,5 %.

На измерительных приборах с резко неравномерной шкалой (например на омметрах) класс точности указывают в долях от длины шкалы и обозначают как 1,5 с обозначением ниже цифр знака "угол".

Если обозначение класса точности на шкале измерительного прибора дано в виде дроби (например 0,02/0,01), это указывает на то, что приведенная погрешность в конце диапазона измерений γк = ±0,02 %, а в нуле диапазона γн = ±0,01 %. К таким измерительным приборам относятся высокоточные цифровые вольтметры, потенциометры постоянного тока и другие высокоточные приборы. В этом случае

δ(х) = γк + γн (Хк/Х - 1),

где Хк - верхний предел измерений (конечное значение шкалы прибора), Х - измеряемое значение.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины

В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования.

1. Зависимость Д(X ) и у(X ) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)

Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора (в единицах выходной величины) может возникать:

– во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины (например, шумы или наводки);

– во-вторых, из-за наличия аналогичной величины на выходе прибора -- например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала (входной сигнал обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);

– в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности

Причем, . С учетом этих факторов значение на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения на величину:

(В (1) слагаемым, имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли). Из (1) следует, что результат измерения величины может быть представлен в виде

Здесь -- абсолютная погрешность измерения, выраженная, как и полагается, в единицах, и состоящая из двух слагаемых: первое из них называется аддитивной погрешностью (от add - прибавлять) поскольку она, как видим, суммируется с и не зависит от него. Второе слагаемое называется мультипликативной погрешностью (от multiply - умножать), так как оно определяется умножением измеряемого значения на относительную погрешность чувствительности

Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

в общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая -- пропорциональна ей (рис 1а). При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от абсолютные (размерные) значения этих погрешностей.

Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность, может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность, характеризующая, как известно, точность измерения, равна

Из следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде, ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности, которая не зависит от значения измеряемой величины, а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной (рис. 1б).

Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.

На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или со знаком. Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:

где первое слагаемое -- аддитивная, а вторая -- мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:

где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.

Размещено на http://www.allbest.ru/

С учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину следует считать связанной с входной величиной соотношением, где увеличивается с ростом из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной (рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении.

Поскольку минимальная ширина этой полосы равна, ясно, что значение измеряемой величины прибор не сможет достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является. Это значение, определяемое аддитивной погрешностью, называется порог чувствительности данного прибора.

2. Зависимость погрешности от измеряемой величины при нелинейной функции преобразования вида Y = a / (b + X )

Нетрудно выяснить, что преобразование такого вида выполняется в простейшем омметре со стрелочным указателем -- микроамперметром (рис 3а). Измеряемой величиной является, а выходной -- ток:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из видно, что, во-первых, шкала такого прибора нелинейна, т. е. неравномерна. Во-вторых, входная и выходная величины находятся в обратной зависимости -- большему значению соответствует меньший ток (рис 3б). Начало шкалы прибора, соответствующее должно соответствовать максимальному току указателя, а конец шкалы при должен соответствовать нулю тока. Обычно перед измерением проверяют правильность градуировки шкалы: при разомкнутом входе () убеждаются, что стрелка находится на крайнем левом делении, а при короткозамкнутом входе (и) -- на крайнем правом. При необходимости последнее условие выполняют изменяя.

Считая, что погрешность измерения определяется погрешностью измерения тока, продифференцируем по:

Знак минус в (10) отражает обратную зависимость и. Но поскольку погрешность обычно указывается с двойным знаком, этот минус в дальнейшем не будем учитывать.

Выразим относительную погрешность измерения:

Из (11) видно, что при стремящемся к 0 и к. Это значит, что есть, при котором будет минимальна. Известно, что для нахождения координат минимума зависимости необходимо приравнять нулю производную по:

Откуда следует, что при (рис 3в). Подставив это значение в (11), найдем

где есть приведенная погрешность микроамперметра, характеризующая его класс точности.

Сам по себе стрелочный указатель имеет линейную функцию преобразования (-- угол отклонения стрелки) и, следовательно, равномерную шкалу по току. Отсюда следует, что если, а значит минимальна и, то стрелка будет находиться посредине шкалы (рис 3б). погрешность подчиненность нелинейный квантовый

Итак, во-первых, при рассмотренном виде нелинейного преобразования минимум относительной погрешности находится в середине шкалы. Значит надо соответствующим образом выбирать диапазон шкалы. Во-вторых, из (12) следует, что этот минимум в 4 раза больше приведенной (минимальной) погрешности указателя (см (12)).

Погрешность квантования

Измерительные приборы с дискретной (квантованной) формой выходной величины, к которым относятся цифровые приборы, имеют ступенчато-линейную функцию преобразования. Размер ступени определяется шагом квантования выходной величины. При этом разным значениям непрерывной измеряемой величины соответствуют дискретные значения выходной величины. При этом показания прибора тоже будут дискретны с шагом квантования, где -- чувствительность линейной функции, которая имела бы место при. Отклонение ступенчатой функции преобразования от линейной приводит к появлению погрешности квантования, зависимость которой от измеряемой величины имеет пилообразный вид (рис 5а, б, в).

Из рис. 4 видно, что существует три разновидности квантования выходной величины:

Размещено на http://www.allbest.ru/

В первом случае значение, соответствующее зависимости заменяется дискретным значением, равным ближайшему уровню квантования. Несовпадение и будет определять погрешность квантования. Из рис. 5а видно, что значения погрешности квантования лежат в пределе от до. При этом все значения равновероятны и математическое ожидание такой погрешности равно 0. Из этого следует, что в этом случае погрешность квантования есть чисто случайная погрешность с равномерным распределением.

Во втором случае непрерывные значения заменяются на, соответствующие нижнему ближайшему уровню. Из рис. 5б видно, что погрешность квантования в этом случае лежит в пределе от до 0 и ее математическое ожидание равно. Видим, что в отличие от первого случая при данном способе квантования систематическая составляющая погрешности не равна нулю, а случайная, равномерно распределенная составляющая лежит в прежнем пределе.

В третьем случае отожествляется -- ближайшим верхним уровнем. Из рис. 5в видно, что погрешность квантования находится в интервале, ее систематическая составляющая равна, а случайная составляющая такая же, как и в двух предыдущих случаях.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Расчёт относительной погрешности сопротивления резисторов. Оценка математического ожидания относительной погрешности сопротивлений резисторов, дисперсии относительных погрешностей сопротивлений резисторов, отклонения измеренного значения величины.

контрольная работа , добавлен 29.04.2009

Расчет суммарной инерционной погрешности гирокомпасов. Оценка влияния погрешностей на точность судовождения. Анализ применения магнитного компаса, лага, эхолота в реальных условиях плавания. Рассмотрение возможной величины поперечного смещения судна.

курсовая работа , добавлен 23.01.2016

Определение величины интенсивности отказов изделия. График вероятности безотказной работы. Расчет комплекса одиночного ЗИП. Расчет погрешности: схема функционального узла; параметры элементов. Расчет среднего значения производственной погрешности.

контрольная работа , добавлен 29.11.2010

Принципиальная схема и параметры составных элементов устройства для контроля отклонения от номинального значения неэлектрической величины. Выбор измерительного преобразователя: принцип действия, характеристика, конструктивное исполнение и применение.

курсовая работа , добавлен 12.05.2012

Обзор методов измерения физической величины и их сравнительный анализ. Принцип действия фотоэлектрических преобразователей. Избыточный коэффициент усиления. Источники погрешностей от приемников излучения. Погрешности от нестабильности условий измерений.

курсовая работа , добавлен 06.12.2014

Исследование влияния на ошибки квантования, спектры квантованного сигнала и ошибки выбора величины динамического диапазона. Исследование влияния соотношения частоты сигнала и частоты дискретизации АЦП. Режим усечения и округления результатов квантования.

лабораторная работа , добавлен 17.10.2011

Характеристика преобразователей частоты вращения: оптический, центробежный, индукционный и электрические тахометры постоянного тока. Датчики с переменным магнитным сопротивлением. Расчет функции преобразования, тепловых расширений и погрешностей.

курсовая работа , добавлен 22.04.2009

Разработка импульсно-цифрового преобразователя с частотно-импульсным законом. Расчет и построение графиков зависимостей погрешности дискретизации, погрешности отбрасывания и методической погрешности преобразований от параметра (fи) входного сигнала.

курсовая работа , добавлен 08.12.2011

Изучение передаточной функции линейной части нелинейной системы и расчет критерия устойчивости Гольдфарба. Определение периода квантования по теореме Котельникова. Исследование передаточных функций импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии.

курсовая работа , добавлен 16.07.2011

Средства электрических измерений: меры, преобразователи, комплексные установки. Классификация измерительных устройств. Методы и погрешности измерений. Определение цены деления и предельного значения модуля основной и дополнительной погрешности вольтметра.

Мультипликативные погрешности (обозначение 8 / и7) - Они растут вместе с измеряемой силой. Принципиально здесь идет речь о погрешностях чувствительности, даже если она случайно и не признается таковой.

Мультипликативная погрешность возникает при изменении коэффициентов преобразования.

Мультипликативная погрешность может быть выявлена только при точном поверочном контроле с использованием поверочных смесей, аттестованных с требуемой точностью. Устранение мультипликативной погрешности производится только градуировкой ИК-анализатора.

Мультипликативная погрешность пропорциональна величине х (рис. 1.12, в): Дг / Ьх, где b - постоянный коэффициент.

Мультипликативной погрешностью (получаемой путем умножения различного вида пофешностей), или погрешностью чувствительности средства измерения, называют пофешность, которая линейно изменяется с изменением измеряемой величины.

Поэтому мультипликативная погрешность прибора, вызванная случайными колебаниями напряжения питания, будет распределена также по треугольному закону в пределах ууст 0 3 %, с с.

Источники мультипликативной погрешности - влияние внешних факторов, старение элементов и узлов прибора.

Коррекция мультипликативных погрешностей обычно производится гораздо реже, чем аддитивных, поскольку стабильность коэффициентов передач отдельных ПЭ, как правило, высокая.

Главная особенность мультипликативной погрешности состоит в том, что она зависит от значения измеряемой величины. Причиной ее появления является условие Akk - l k ] 0, которое отражает тот факт, что размер единицы величины q, воспроизводимой СИ, не равен единице.

Основным источником мультипликативной погрешности является нестабильность коэффициента чувствительности дифманометра, а аддитивной - дрейф нуля дифманометра, потери давления в пневмолиниях и в измерительных трубках при барботаже. С целью исключения этих погрешностей в системе применяется тестовый способ повышения точности. Тестовый алгоритм повышения точности измерения реализуется за 3 такта: основное измерение - работают основные измерительные трубки, аддитивный тест - работают основные измерительные трубки и задатчик эталонного перепада давления в минусовой пнев-молинии и мультипликативный тест - работают длинная основная и дополнительные трубки.

Для уменьшения статической мультипликативной погрешности сейчас широко используются приборы с замкнутой схемой обратной связи, аналогичные следящим системам автоматического управления. Но глубокая отрицательная обратная связь уменьшает чувствительность прибора, ухудшает его селективные (избирательные) свойства, а для неэлектрических величин трудно реализуема. Поэтому с мультипликативными погрешностями, вызванными медленным изменением (например, старением) параметров элементов аналоговых схем, предложено бороться, реализуя в приборах поисковые и беспоисковые самонастраивающиеся системы.

Вторая разновидность - мультипликативные погрешности, которые линейно зависят от уровня входного сигнала. Примером такой погрешности является погрешность измерительного преобразователя, обусловленная отличием действительного коэффициента преобразования от номинального. В общем случае зависимость погрешности от входного сигнала может быть произвольной. Примером является динамическая погрешность средства измерений, зависящая от уровня и закона изменения входного сигнала, с одной стороны, и динамической характеристики средства измерений, с другой стороны. В частности, динамическая погрешность средства измерений с линейным дифференциальным уравнением вычисляется с помощью интегральной свертки входного сигнала и импульсной характеристики средства измерений.

Определим сначала характеристики мультипликативной погрешности для статического режима.

Погрешность преобразователей является следствием несовершенства их конструкции и технологии изготовления. Поэтому она определяется совокупностью частных составляющих погрешности или, как принято говорить, совокупностью частных погрешностей. Наличие погрешности у преобразователя (а она всегда есть) проявляется в том, что реальная характеристика преобразователя отличается от номинальной, является неоднозначной и из линии превращается в полосу неопределенности.

Частные погрешности можно классифицировать по различным признакам:

1) по характеру влияния на уравнение преобразователя;

2) по характеру проявления: систематические и случайные;

3) по причине возникновения;

4) по зависимости от скорости изменения измеряемой величины: статические и динамические.

По характеру влияния на уравнение преобразователя погрешности подразделяются на аддитивные и мультипликативные .

Аддитивная погрешность (от лат. additio - прибавление) проявляется в смещении нулевого или условно нулевого положения. Это смещение не зависит от значения измеряемой величины и объясняется наличием внешних помех, шумов, трения, порога чувствительности. К числу аддитивных можно отнести и погрешность дискретности (квантования), хотя это и не погрешность нуля. С учетом аддитивной погрешности уравнение (2.161) преобразователя принимает вид

Y= S н Х +∆ у .а. . (2.165)

где ∆ у .а - аддитивная погрешность, приведенная к выходу.

Аддитивная погрешность может иметь как систематический, так и случайный характер. На рис. 2.22,а показаны номинальная и реальная характеристики преобразователя для случая систематической аддитивной погрешности, а на рис. 2.22,б - полоса неопределенности, в которую превращается номинальная характеристика преобразователя, если аддитивная погрешность носит случайный характер.

Рис. 2.22. Характеристики преобразователем при наличии аддитивной

погрешности систематического (а ) и случайного (б) характеров.

Систематическая составляющая аддитивной погрешности должна быть скорректирована перед началом измерения, а случайная может быть учтена по законам случайных ошибок. Перечисленные выше аддитивные погрешности являются случайными с отличным от нуля математическим ожиданием.

Мультипликативная погрешность - это погрешность чувствительности (от англ. multiplier - множитель, коэффициент), т. е. это погрешность, вызванная непостоянством чувствительности в диапазоне измерения вследствие несовершенства технологии изготовления преобразователя, а также вследствие воздействия внешних факторов.

Если непостоянство чувствительности по шкале обозначить через ∆S , то относительное изменение ее (по отношению к номинальному значению чувствительности S Н, ее математическому ожиданию) и является относительной мультипликативной погрешностью. Действительно,

где т у = Y 0 - математическое ожидание Y , его действительное значение; ∆ у ,м - абсолютная погрешность преобразования.

т. е. равна относительному изменению чувствительности. Из (2.166) следует, что абсолютная мультипликативная погрешность пропорциональна измеряемой величине:

Здесь и ранее - это погрешности преобразователя, приведенные к выходу. Погрешности, приведенные к входу, в S Н раз меньше.

Рис. 2.23. Мультипликативные систематические погрешности (а )

и характеристики преобразователей (б ).

Мультипликативная погрешность также может иметь систематическую и случайную составляющие. На рис. 2.23, а изображены кривые абсолютной и относительной систематической мультипликативной погрешностей для γ m 1 =const, а на рис. 2.23,б номинальная и реальная характеристики преобразователя для γ m 1 . Если непостоянство чувствительности по шкале носит случайный характер, как это показано на рис. 2.24, а, и характеризуется среднеквадратичным отклонением ±σ м, то

∆ у ,м =±z σ м Y 0 . (2.169)

Рис. 2.24. Чувствительность (а ) и характеристика преобразователя (б) при случайной мультипликативной погрешности.

На рис. 2.24,б изображена номинальная характеристика преобразователя и зона неопределенности, определяющая положение (случайное) реальной характеристики.

Полная абсолютная погрешность преобразователя, приведенная к выходу,

∆ у =∆ у, a +γ м Y 0 . (2.170)

а приведенная к входу

∆ x =∆ x , a +γ м X. (2.171)

Относительная погрешность преобразователя

В дальнейшем индексы у и х у погрешностей будем опускать.

Из (2.172) видно, что при малых значениях измеряемой величины относительная аддитивная составляющая погрешности может принимать очень большие значения. На рис. 2.25 изображены номинальная характеристика и полоса неопределенности, определяющая реальную характеристику, при наличии у преобразователя обеих составляющих погрешности.

Рис. 2.25. Номинальная характеристика и полоса неопределенности реальной характеристики преобразователя при наличии аддитивной и

мультипликативной погрешностей.

Погрешность, вызванная нелинейностью, возникает в том случае, когда за характеристику преобразователя, имеющего принципиально нелинейную характеристику, принимается линейная. В зависимости от способа линеаризации эта погрешность может иметь только мультипликативную или только аддитивную составляющие. Действительно, при линеаризации по касательной (рис. 2. 26, а ) и по хорде (рис. 2.26,б ) ошибка должна расцениваться как мультипликативная, имеющая систематический характер. При линеаризации, например, по методу Чебышева погрешность является аддитивной (рис. 2.26, в).

Рис. 2.26. Влияние способа аппроксимации нелинейной характеристики на характер и величину погрешности.

(Пояснения в тексте).

В этом случае она характеризуется зоной, определяемой положениями касательной и хорды, поэтому удобнее и правильнее считать частную погрешность от нелинейности при таком способе линеаризации случайной величиной.

Для многих преобразователей характерно явление гистерезиса, вызывающее вариацию значений выходного параметра. Это - упругий гистерезис мембран, магнитный гистерезис ферромагнитных материалов и т. д. Замена реальной гистерезисной характеристики идеальной приводит к случайной мультипликативной ошибке.

Разделение погрешностей на мультипликативные и аддитивные очень существенно при решении вопроса о нормировании погрешностей измерительных устройств, о выборе метода оптимальной обработки получаемой информации о значении измеряемой величины.

Аддитивной погрешностью называется погрешность, постоянная в каждой точке шкалы.

Мультипликативной называется погрешность, линейно возрастающая или убывающая с ростом измеряемой величины.

Различать аддитивные и мультипликативные п. легче всего по полосе погрешностей.

Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса определяется аддитивной п. (рис. а). Иногда такую п. называют погрешностью нуля. Если постоянной величиной является относительная погрешность, то полоса погрешностей меняется в пределах диапазона измерений и п. называется мультипликативной (рис. б). Ярким примером аддитивной п. является погрешность квантования (оцифровки).

Класс точности измерений зависит от вида погрешностей. Рассмотрим класс точности измерений для аддитивной и мультипликативной п.

Для аддитивной п.: